A Fibonacci sorozat története nem a XII. és XIII. század fordulóján élt itáliai matematikussal kezdődött, hiszen sokkal korábban megtalálható az óind matematikában. Pontos írásos feljegyzése is Fibonacci felfedezése előtt 50 évvel korábban történt Indiában.

filozófia hírességek kutatás misztika számmisztika tudomány ókori India

Ez a számsor kapcsolódik az emberi és isteni képzőművészethez is. Ismert neve: aranymetszés, az isteni arány. Aranymetszés, mint matematikai sorozat, mint Fibonacci számok? Érdemes körüljárni, már csak azért is, mert a számtani sorozatok misztikája már ősidőktől fogva rabul ejtette az embert. Az aranymetszés aránya, és a Fibonacci sorozat számtalan helyen fellelhető a természetben, talán ezért is varázsol el bennünket a matematikai érdekességek teremtő ereje.

Matematikai érdekességek: számtani sorozatok 


Számtani sorozatról akkor beszélünk, ha egy legalább három számból álló sorozatban a második elemtől kezdve bármelyik tag és az azt megelőző tag különbsége állandó. A legegyszerűbb példa a természetes számok sorrendje, ahol mindig 1-et kapunk, ha kivonjuk a megelőző számot. (0,1,2,3,4,5…) 
Felfedezőjéről szokták elnevezni, de ez sajnos nem minden esetben korrekt.

Mint látni fogjuk, a Fibonacci sorozatnál sem érvényes. Bár az itáliai matematikus nevéhez kapcsolódik, nem ő az első, aki használta ezeket a számokat. Ha egymástól függetlenül fedezték volna fel többen, még akkor is az az általános szabály, hogy annak a személynek a neve jelzi, aki az első volt. Miért fontos ez? Az indiai származású professzor, Manjul Bhargava a matematikai Nobel-díjnak megfelelő Fiedels érem kitüntetettje. Ő adta meg a választ, amikor kissé szomorkásan megjegyezte:

Bár a világon minden komoly szakember tudja, hogy ezt a sorozatot Indiában találták meg, ezt a büszkeséget elvették az indiaiaktól.


Szerencsére van jó példa is. A Mádhava-Gregory-sor is egy matematikai sorozat, melyet a 14. században fedezett fel egy szintén indiai tudós. Szangamagrámi Mádhava a Kerala iskola alapítója, csillagász és matematikus volt. Amire ő rájött, 1668-ban újra felfedezte James Gregory, skót matematikus, és tőle függetlenül Leibniz. S bár Mádhava két évszázaddal korábban már ismerte, mégis sok évnek kellett eltelnie, hogy az ő neve kerüljön a matematikai fogalom elé. Ma már elismeri a Nemzetközi Matematika Tanács, de ha megnézzük a mai szócikkeket, még mindig sok helyen hiányzik a neve, csak Gregory-sorként olvasható vagy mindkét néven, pedig valójában a 200 év jogosulttá tenné, hogy Mádhava-sorként szerepeljen…


A sorozat érdekessége, hogy a pí értékének meghatározására alkalmas, amit szintén India adott át az ókorban, s görög közvetítéssel került tovább.
Ha már Keralában járunk, még egy matematikai érdekességet érdemes megemlíteni: A Mádhava-Newton-sor a szinusz és koszinusz értékek közelítésére vonatkozik. Mádhava fedezte fel 300 évvel Newton előtt! Mégsem csak az ő neve szerepel…

A Fibonacci sorozat 


A Fibonacci sorozat első két alkotórésze a 0 és az 1, a harmadik elemtől kezdve minden szám az előző kettő összege: 0, 1 – 1, 2, 3, 5, 8, 13 és így tovább. Fibonacci számok végtelen, növekvő sorozatot alkotnak. Nem véletlenül ez az egyik legismertebb számsor, hiszen a Fibonacci számok különlegessége több területet is összekapcsol. Mint ahogy látni fogjuk, ez az arány megtalálhatóak a növény- és állatvilágban, illetve az emberi testben is. 


A Fibonacci sorozat egyre nagyobb sorszámú elemeinek hányadosa egy állandó számhoz, az aranymetszéshez tart. Már az ókori görögök is ismertek, és aranymetszésnek, „isteni aránynak” hívták. Egyensúlyt alkot a szimmetria és asszimmetria között. Az aranymetszés egy szakaszt úgy bont két részre, hogy a kisebbik rész úgy aránylik a nagyobbhoz, mint a nagy az egészhez. Ezt a bűvös arányt pedig a természetben és az emberi alkotásokban, az építészetben, a képzőművészetben és a zenében egyaránt megtaláljuk. Ma Fibonacci számok jelennek meg számítógépes algoritmusokban, a nyomdászatban és a tőzsdei és gazdasági stratégiák is élnek vele.

 
A Fibonacci sorozat története 


A Fibonacci sorozat az indiai matematikában a szanszkrit prozódia kapcsán jelenik meg.

Az úgynevezett Fibonacci számok először „matrameru” (a ritmus hegye) néven szerepelnek a szanszkrit nyelvész és matematikus, Pingala Chandah-sásztra (A prozódia művészete) című munkájában.

A prozódia rendkívül fontos volt az ókori indiai rituálékban, mert a hangsúly őrizte a kimondott mantra tisztaságát.

Pingala i.e. 500 körül élt, említett műve egyben a bináris számrendszer első ismert leírása is. Halayudha írt egy kommentárt ehhez, melyben szerepel a később Pascal-háromszögként elnevezett formula, holott ő már évszázadokkal Pascal előtt tanulmányozta azt. Jelezte, hogy a „ferde” átlók tagjainak összege a Fibonacci-számokat adja. A következő nyom a 6. századi matematikus, Virahanka munkája, aki a hosszú és rövid szótagokat elemezte, itt is szerepel ez a számsor. Ezt követi Gopala és Hemachandra, akik kifejezetten megemlítik a számokat.


Hemachandra (1089-1172) dzsain tudós, költő és polihisztor volt, akit a kortársai csodagyerekként tiszteltek, és a kalikála-sarvajna, „mindentudó a Kali-júgában” címet adományozták neki, vagyis korának legbölcsebb személyiségének tartották. Nem csak csodálatos író és költő volt, aki több ezer verset komponált, egyben a logika tudományának embereként is tisztelték, aki a szerteágazó indiai filozófiai iskolák mindegyikét ismerte. Hatására Gujaratban a dzsainizmust hivatalos vallássá vált, és az állam területén betiltották az állatok levágását. Élete alkonyán hat hónappal előre bejelentette a halálát, és böjttel készült fel rá az utolsó napokban.


Hemachandra és mestere, Gopala azt is vizsgálta, hogy a rövid és hosszú szótagok miként töltenek ki egy adott időtartamot a szanszkrit költészetben. Így fedezték fel a matematikai sorozatot, melynek első pontos említése 1150-ből való. 

filozófia hírességek kutatás misztika számmisztika tudomány ókori India
Hemachandra és Fibonacci


1202-ben tőlük függetlenül találta meg Leonardo Pisano, ismertebb nevén Fibonacci, a középkor legtehetségesebb nyugati matematikusa. Akkoriban még a római számokat használták, amely igencsak megnehezítette a számolást. A fiatal Fibonacci apjával beutazta egész Észak-Afrikát. Algériában találkozott a hindu-arab számírással, és az arabok által használt tízes számrendszerrel, mellyel sokkal egyszerűbben végezhető minden számtani művelet.

Megtanulta a hindu/arab számrendszert, s számos vezető arab matematikustól tanult. Nagyrészt neki köszönhetjük, hogy az arab közvetítéssel elterjedő tízes számrendszert és az „arab”, helyesen hindu számokat Európában meghonosította. Ismereteit Liber Abaci, Könyv a számtanról című munkájában foglalta össze. Bemutatta az úgynevezett „modus Indorum”-ot (az indiaiak módszerét), amit ma hindu-arab számrendszernek nevezünk, a számjegyeket 0-9-ig, valamint a helyiérték fogalmát:

„Van tíz hindu jel: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0. Ezen jelek segítségével bármilyen számot fel lehet írni, amit csak akarunk”

– írta könyvében.


Itt található az a bizonyos, azóta szinte misztikussá váló számsor, amit róla neveztek el. 

 
A Fibonacci sorozat a természetben 


Kepler a The Six-Cornered Snowflake c. könyvében (1611) a Fibonacci számokkal kapcsolatban különféle természeti jelenségeket említ. A tudósok évszázadok óta elgondolkoztak azon, miért olyan sok természetes mintában tükröződik a Fibonacci-sorozat vagy a kezdő képen is látható Fibonacci-számok alkotta spirál. 

filozófia hírességek kutatás misztika számmisztika tudomány ókori India


2 kezünk van, amelyek mindegyikén 5 ujj, valamennyi 3 részből áll. Az ujjak, valamint a kéz, az alkar és a kar aránya szintén erre utal. Nagyon ritka és speciális virág az, amelyiknél a szirmok száma nem egy Fibonacci-szám. A fej-tor-potroh aránya, a delfinek testfelépítése stb. Lehetetlen mindet felsorolni. Mi a helyzet az almával, a virágjának szirmával, vagy ha nem függőlegesen vágjuk ketté? Meglepetés! 5 – Fibonacci szám.


Még a mikroszkopikus birodalom sem immunis a Fibonacci-számtól: a DNS-molekula 34 angström hosszú és 21 angström széles. Ezek a Fibonacci-sorozat számai, és arányuk (1,619 ) szinte teljesen megegyezik az aranymetszés arányszámával (1,618). 


Fibonacci-spirál szerint rendeződnek a fenyőtoboz vagy az ananász pikkelyei, de a napraforgó tányérja is nagyszerű példa.

Számtani sorozatok misztikája

 
Úgy tűnik, a Fibonacci számok alátámasztják Galilelo Galileo híres kijelentését:

„A természet nagy könyve a matematika nyelvén íródott”.

Bár az is igaz, olyan példákat is felhozhatunk, ahol nem találjuk meg ezt a sotozatot. Vannak más, szintén igen gyakori matematikai struktúrák is az élő és az élettelen természetben, ezek egyike a Voronoj-féle cellaszerkezet. A szitakötő szárnyának mintázata ez alapján épül fel.


A számok és a természet összefüggései nemcsak a matematika iránt érdeklődőknek lehet izgalmas. Ha nyitott szemmel járunk a világban, akkor a tények mögött mindig felfedezhetünk más, fontos információt is. Ez igaz a Fibonacci sorozattal kapcsolatban is. 


A természet tökéletességének meglátása és az ember vágya a tökéletes kompozíció megalkotására mindig is az isteni harmónia felé terelte, vonzotta az egyént. Így az „isteni arány” varázsa nem korlátozódik a matematikára. Biológusok, képzőművészek, zenészek, történészek, építészek, pszichológusok egyaránt kutatták titkát. A matematika történetében nincs még egy ilyen fogalom, mely ennyi gondolkodót inspirált volna. 

 
A matematikai érdekességek teremtő ereje

filozófia hírességek kutatás misztika számmisztika tudomány ókori India


Marcus Du Sautoy, az Oxfordi Egyetem matematika professzora néhány éve Indiában forgatott dokumentumfilmet (ez a youtube-on is látható). Munkájával kapcsolatban kijelentette:

„Sok ember úgy gondolja, hogy a matematika nyugati találmány volt. Ez a program arról szól, hogy egy csomó dolgot már megalkottak Indiában, mielőtt felfedezték volna a nyugati világban. Ez a munkám tehát valójában politikai is, mert azt mutatja, hogy mennyire figyelmen kívül hagyjuk Kelet felfedezéseit.”


Elmulasztunk megemlíteni mást is. A Fibonacci sorozat vagy a vele kapcsolatos aranymetszés a természetben csak véletlen egybeesés lenne? Örömmel fedezzük fel az aranymetszés, az arany arány szépségét Leonardo da Vinci műveiben vagy Le Corbusie épületeiben stb. Megnevezzük a festőket, építészeket, a műremekek alkotóit, mérnökeit.

A matematikai érdekességek teremtő ereje jól nyomon követhető Cristóbal Vila kisfilmjében is, aki remek példákat hoz a természetben előforduló, matematikailag leírható mintázatokra. Ugyanakkor hajlamosak vagyunk elfeledkezni arról a mérnökről, aki mind a mai napig sokkal tökéletesebb és változatosabb formákban mutatja meg az arany arányt. 

Kapcsolódó írások