30 dec

Fibonacci sorozat, a számtani sorozatok királya

A Fibonacci sorozat története nem a XII. és XIII. század fordulóján élt itáliai matematikussal kezdődött, hiszen sokkal korábban megtalálható az óind matematikában. Pontos írásos feljegyzése is Fibonacci felfedezése előtt 50 évvel korábban történt Indiában.

filozófia hírességek kutatás misztika számmisztika tudomány ókori India

Ez a számsor kapcsolódik az emberi és isteni képzőművészethez is. Ismert neve: aranymetszés, az isteni arány. Aranymetszés, mint matematikai sorozat, mint Fibonacci számok? Érdemes körüljárni, már csak azért is, mert a számtani sorozatok misztikája már ősidőktől fogva rabul ejtette az embert. Az aranymetszés aránya, és a Fibonacci sorozat számtalan helyen fellelhető a természetben, talán ezért is varázsol el bennünket a matematikai érdekességek teremtő ereje.

Matematikai érdekességek: számtani sorozatok 


Számtani sorozatról akkor beszélünk, ha egy legalább három számból álló sorozatban a második elemtől kezdve bármelyik tag és az azt megelőző tag különbsége állandó. A legegyszerűbb példa a természetes számok sorrendje, ahol mindig 1-et kapunk, ha kivonjuk a megelőző számot. (0,1,2,3,4,5…) 
Felfedezőjéről szokták elnevezni, de ez sajnos nem minden esetben korrekt.

Mint látni fogjuk, a Fibonacci sorozatnál sem érvényes. Bár az itáliai matematikus nevéhez kapcsolódik, nem ő az első, aki használta ezeket a számokat. Ha egymástól függetlenül fedezték volna fel többen, még akkor is az az általános szabály, hogy annak a személynek a neve jelzi, aki az első volt. Miért fontos ez? Az indiai származású professzor, Manjul Bhargava a matematikai Nobel-díjnak megfelelő Fiedels érem kitüntetettje. Ő adta meg a választ, amikor kissé szomorkásan megjegyezte:

Bár a világon minden komoly szakember tudja, hogy ezt a sorozatot Indiában találták meg, ezt a büszkeséget elvették az indiaiaktól.


Szerencsére van jó példa is. A Mádhava-Gregory-sor is egy matematikai sorozat, melyet a 14. században fedezett fel egy szintén indiai tudós. Szangamagrámi Mádhava a Kerala iskola alapítója, csillagász és matematikus volt. Amire ő rájött, 1668-ban újra felfedezte James Gregory, skót matematikus, és tőle függetlenül Leibniz. S bár Mádhava két évszázaddal korábban már ismerte, mégis sok évnek kellett eltelnie, hogy az ő neve kerüljön a matematikai fogalom elé. Ma már elismeri a Nemzetközi Matematika Tanács, de ha megnézzük a mai szócikkeket, még mindig sok helyen hiányzik a neve, csak Gregory-sorként olvasható vagy mindkét néven, pedig valójában a 200 év jogosulttá tenné, hogy Mádhava-sorként szerepeljen…


A sorozat érdekessége, hogy a pí értékének meghatározására alkalmas, amit szintén India adott át az ókorban, s görög közvetítéssel került tovább.
Ha már Keralában járunk, még egy matematikai érdekességet érdemes megemlíteni: A Mádhava-Newton-sor a szinusz és koszinusz értékek közelítésére vonatkozik. Mádhava fedezte fel 300 évvel Newton előtt! Mégsem csak az ő neve szerepel…

A Fibonacci sorozat 


A Fibonacci sorozat első két alkotórésze a 0 és az 1, a harmadik elemtől kezdve minden szám az előző kettő összege: 0, 1 – 1, 2, 3, 5, 8, 13 és így tovább. Fibonacci számok végtelen, növekvő sorozatot alkotnak. Nem véletlenül ez az egyik legismertebb számsor, hiszen a Fibonacci számok különlegessége több területet is összekapcsol. Mint ahogy látni fogjuk, ez az arány megtalálhatóak a növény- és állatvilágban, illetve az emberi testben is. 


A Fibonacci sorozat egyre nagyobb sorszámú elemeinek hányadosa egy állandó számhoz, az aranymetszéshez tart. Már az ókori görögök is ismertek, és aranymetszésnek, „isteni aránynak” hívták. Egyensúlyt alkot a szimmetria és asszimmetria között. Az aranymetszés egy szakaszt úgy bont két részre, hogy a kisebbik rész úgy aránylik a nagyobbhoz, mint a nagy az egészhez. Ezt a bűvös arányt pedig a természetben és az emberi alkotásokban, az építészetben, a képzőművészetben és a zenében egyaránt megtaláljuk. Ma Fibonacci számok jelennek meg számítógépes algoritmusokban, a nyomdászatban és a tőzsdei és gazdasági stratégiák is élnek vele.

 
A Fibonacci sorozat története 


A Fibonacci sorozat az indiai matematikában a szanszkrit prozódia kapcsán jelenik meg.

Az úgynevezett Fibonacci számok először „matrameru” (a ritmus hegye) néven szerepelnek a szanszkrit nyelvész és matematikus, Pingala Chandah-sásztra (A prozódia művészete) című munkájában.

A prozódia rendkívül fontos volt az ókori indiai rituálékban, mert a hangsúly őrizte a kimondott mantra tisztaságát.

Pingala i.e. 500 körül élt, említett műve egyben a bináris számrendszer első ismert leírása is. Halayudha írt egy kommentárt ehhez, melyben szerepel a később Pascal-háromszögként elnevezett formula, holott ő már évszázadokkal Pascal előtt tanulmányozta azt. Jelezte, hogy a „ferde” átlók tagjainak összege a Fibonacci-számokat adja. A következő nyom a 6. századi matematikus, Virahanka munkája, aki a hosszú és rövid szótagokat elemezte, itt is szerepel ez a számsor. Ezt követi Gopala és Hemachandra, akik kifejezetten megemlítik a számokat.


Hemachandra (1089-1172) dzsain tudós, költő és polihisztor volt, akit a kortársai csodagyerekként tiszteltek, és a kalikála-sarvajna, „mindentudó a Kali-júgában” címet adományozták neki, vagyis korának legbölcsebb személyiségének tartották. Nem csak csodálatos író és költő volt, aki több ezer verset komponált, egyben a logika tudományának embereként is tisztelték, aki a szerteágazó indiai filozófiai iskolák mindegyikét ismerte. Hatására Gujaratban a dzsainizmust hivatalos vallássá vált, és az állam területén betiltották az állatok levágását. Élete alkonyán hat hónappal előre bejelentette a halálát, és böjttel készült fel rá az utolsó napokban.


Hemachandra és mestere, Gopala azt is vizsgálta, hogy a rövid és hosszú szótagok miként töltenek ki egy adott időtartamot a szanszkrit költészetben. Így fedezték fel a matematikai sorozatot, melynek első pontos említése 1150-ből való. 

filozófia hírességek kutatás misztika számmisztika tudomány ókori India
Hemachandra és Fibonacci


1202-ben tőlük függetlenül találta meg Leonardo Pisano, ismertebb nevén Fibonacci, a középkor legtehetségesebb nyugati matematikusa. Akkoriban még a római számokat használták, amely igencsak megnehezítette a számolást. A fiatal Fibonacci apjával beutazta egész Észak-Afrikát. Algériában találkozott a hindu-arab számírással, és az arabok által használt tízes számrendszerrel, mellyel sokkal egyszerűbben végezhető minden számtani művelet.

Megtanulta a hindu/arab számrendszert, s számos vezető arab matematikustól tanult. Nagyrészt neki köszönhetjük, hogy az arab közvetítéssel elterjedő tízes számrendszert és az „arab”, helyesen hindu számokat Európában meghonosította. Ismereteit Liber Abaci, Könyv a számtanról című munkájában foglalta össze. Bemutatta az úgynevezett „modus Indorum”-ot (az indiaiak módszerét), amit ma hindu-arab számrendszernek nevezünk, a számjegyeket 0-9-ig, valamint a helyiérték fogalmát:

„Van tíz hindu jel: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0. Ezen jelek segítségével bármilyen számot fel lehet írni, amit csak akarunk”

– írta könyvében.


Itt található az a bizonyos, azóta szinte misztikussá váló számsor, amit róla neveztek el. 

 
A Fibonacci sorozat a természetben 


Kepler a The Six-Cornered Snowflake c. könyvében (1611) a Fibonacci számokkal kapcsolatban különféle természeti jelenségeket említ. A tudósok évszázadok óta elgondolkoztak azon, miért olyan sok természetes mintában tükröződik a Fibonacci-sorozat vagy a kezdő képen is látható Fibonacci-számok alkotta spirál. 

filozófia hírességek kutatás misztika számmisztika tudomány ókori India


2 kezünk van, amelyek mindegyikén 5 ujj, valamennyi 3 részből áll. Az ujjak, valamint a kéz, az alkar és a kar aránya szintén erre utal. Nagyon ritka és speciális virág az, amelyiknél a szirmok száma nem egy Fibonacci-szám. A fej-tor-potroh aránya, a delfinek testfelépítése stb. Lehetetlen mindet felsorolni. Mi a helyzet az almával, a virágjának szirmával, vagy ha nem függőlegesen vágjuk ketté? Meglepetés! 5 – Fibonacci szám.


Még a mikroszkopikus birodalom sem immunis a Fibonacci-számtól: a DNS-molekula 34 angström hosszú és 21 angström széles. Ezek a Fibonacci-sorozat számai, és arányuk (1,619 ) szinte teljesen megegyezik az aranymetszés arányszámával (1,618). 


Fibonacci-spirál szerint rendeződnek a fenyőtoboz vagy az ananász pikkelyei, de a napraforgó tányérja is nagyszerű példa.

Számtani sorozatok misztikája

 
Úgy tűnik, a Fibonacci számok alátámasztják Galilelo Galileo híres kijelentését:

„A természet nagy könyve a matematika nyelvén íródott”.

Bár az is igaz, olyan példákat is felhozhatunk, ahol nem találjuk meg ezt a sotozatot. Vannak más, szintén igen gyakori matematikai struktúrák is az élő és az élettelen természetben, ezek egyike a Voronoj-féle cellaszerkezet. A szitakötő szárnyának mintázata ez alapján épül fel.


A számok és a természet összefüggései nemcsak a matematika iránt érdeklődőknek lehet izgalmas. Ha nyitott szemmel járunk a világban, akkor a tények mögött mindig felfedezhetünk más, fontos információt is. Ez igaz a Fibonacci sorozattal kapcsolatban is. 


A természet tökéletességének meglátása és az ember vágya a tökéletes kompozíció megalkotására mindig is az isteni harmónia felé terelte, vonzotta az egyént. Így az „isteni arány” varázsa nem korlátozódik a matematikára. Biológusok, képzőművészek, zenészek, történészek, építészek, pszichológusok egyaránt kutatták titkát. A matematika történetében nincs még egy ilyen fogalom, mely ennyi gondolkodót inspirált volna. 

 
A matematikai érdekességek teremtő ereje

filozófia hírességek kutatás misztika számmisztika tudomány ókori India


Marcus Du Sautoy, az Oxfordi Egyetem matematika professzora néhány éve Indiában forgatott dokumentumfilmet (ez a youtube-on is látható). Munkájával kapcsolatban kijelentette:

„Sok ember úgy gondolja, hogy a matematika nyugati találmány volt. Ez a program arról szól, hogy egy csomó dolgot már megalkottak Indiában, mielőtt felfedezték volna a nyugati világban. Ez a munkám tehát valójában politikai is, mert azt mutatja, hogy mennyire figyelmen kívül hagyjuk Kelet felfedezéseit.”


Elmulasztunk megemlíteni mást is. A Fibonacci sorozat vagy a vele kapcsolatos aranymetszés a természetben csak véletlen egybeesés lenne? Örömmel fedezzük fel az aranymetszés, az arany arány szépségét Leonardo da Vinci műveiben vagy Le Corbusie épületeiben stb. Megnevezzük a festőket, építészeket, a műremekek alkotóit, mérnökeit.

A matematikai érdekességek teremtő ereje jól nyomon követhető Cristóbal Vila kisfilmjében is, aki remek példákat hoz a természetben előforduló, matematikailag leírható mintázatokra. Ugyanakkor hajlamosak vagyunk elfeledkezni arról a mérnökről, aki mind a mai napig sokkal tökéletesebb és változatosabb formákban mutatja meg az arany arányt. 

Kapcsolódó írások

Tovább olvasom

02 dec

Matematikai rejtély megoldása szanszkrit szövegek és a Rubik-kocka segítségével

Dr. Manjul Bhargava elegáns módon fogalmazta meg egy régi matematikai probléma megoldását. A heuréka-pillanatában a Rubik kocka „kocka-szeletelő módszere” és a védikus matematika ismerete adta neki az új ötletet a Gauss törvény átfogalmazására.

Bhargava a Fields-érem egyik győztese, mely a matematika legmagasabb díja. A matematikus professzor élete a hagyományok és a modern világ érdekes kombinációja – egy szellemi „bűvös-kocka”, ezért is érdemes jobban megismerni.

hírességek kutatás misztika számmisztika tudomány


 
Matematikai problémák a világban 


A matematikai tudomány még jó néhány megoldatlan problémáján dolgoznak a tudósok világszerte. Olyan híreket olvashatunk, mint pl. Andrew Beal texasi bankár és műkedvelő matematikus egymillió dolláros felajánlása, melyet egy húsz éve megoldatlan matematikai probléma bizonyításáért vagy cáfolatáért ajánlott fel. 


Szintén 1-1 millió dollárt tűzött ki a Landon T. Clay, bostoni milliárdos által alapított Clay Matematikai Intézet a „millenniumi problémák”-nak nevezett feladatok tisztázására. Van, amit azóta már megoldottak, így lekerült a listáról. Nemrégiben meg azt a hírt közölték az újságok, hogy egy ukrán matematikus hölgy megoldotta azt, ami 1611-től foglalkoztatta az elméleti szakembereket.


 
Matematikai feladatok megoldása az ősi indiai matematika világában

 
A mai Pakisztán területén találták a legrégebbi matematikai kéziratot. Az óind Lilávati gyűjteményt a híres indiai matematikus és csillagász, Bhaskara állított össze, hogy elterelje vele leánya szomorú gondolatait. A játékos matematikai gyűjtemény többek között a nullával, törtekkel, egyenletrendszerekkel foglalkozik.


Aki egy kicsit is jártas a matematikatudomány történetében, az jól tudja, hogy a legkorábbról ismert matematikusokat az ókori Indiában kell keresnünk. Azóta számtalan tudós került ki erről a földrészről, akiknek munkája – bár napjaink legmagasabb szintű kutatói – a védikus matematikához is kapcsolódik. 
Gauss 1801-ben alkotta meg híres művét, az Aritmetikát, de körülbelül 20 oldalas bonyolult számítással írta le törvényét.

Manjul Bhargava megtalálta egy nagyon egyszerű módját annak, hogy néhány sorban megfogalmazza azt. Nagyapja szanszkrit professzor volt Rádzsasztánban, az ősi indiai történelem neves tudósa, Bhargava rendkívül kötődött hozzá. Egyszer látta nála azt a szanszkrit kéziratot, mely Brahmagupta, a kiváló indiai matematikus munkáját mutatta be, aki már a 7. század elején megtalálta a választ arra a problémára, ami elkerült a legendás Carl Friedrich Gauss figyelmét.


A Harvardon summa cum laude diplomát szerzett Bhargavát a nevezetes előd és egy magyar találmány is segítette a tömör megfogalmazásban: „Volt egy Rubik-kocka a szobámban, és lefekvés előtt csak néztem, néztem, akkor jött az ötlet: Mi történik, ha teszek egy számot a Rubik-kocka sarkaira?”


 
A Rubik-kocka története


Rubik Ernő belsőépítész, egyetemi tanár. 1974-ben találta fel a „bűvös kockát”, melyet térbeli logikai játékként nevezett meg. Tulajdonképpen csak egy, a térbeli mozgások szemléltetésére alkalmas eszköznek szánta. A Rubik-kocka története már óriási publicitásnak örvend, a mindennapi életben pedig emberek millióit kerítette hatalmába.

Rubik Ernő szerint sikere annak köszönhető, hogy egyidejűleg roppant egyszerű, mégis összetett. A kockát kis gyakorlással közel 1 perc alatt rakta ki, ma már ennek töredéke a csúcs. Kétévenként még gyorsasági olimpiát is rendeznek. Minden idők egyik legnagyobb példányszámban értékesített rejtvénye. Ma is népszerű, világszerte több mint 350 millió Rubik-kockát adtak el. 1981-ben bekerült a New York-i Modern Művészetek Múzeumának építészeti gyűjteményébe is.


 
hírességek kutatás misztika számmisztika tudomány


 
A védikus matematika 


Amikor megkérdezték Manjul Bhargavát, hogyan tekint a védikus matematikára, a következőt válaszolta:

"Számos figyelemre méltó nyelvi, költői, matematikai mű íródott a tudományos jellegű szanszkrit nyelven az ókori Indiában. Felnövekedve volt szerencsém olvasni néhányat olyan mesterek munkái közül, mint a nagy nyelvész és költő, Panini vagy a tudós Pingala és Hemachandra, valamint a nagy matematikusok Árjabhata, Bhaskara és természetesen Brahmagupta. E művek hihetetlen matematikai felfedezéseket tartalmaznak, mindez fiatal matematikusként nagyon inspiráló volt számomra."


A költészet ritmusa, a hosszú és rövid szótagok variációja a zene ütemeihez hasonlít. Az egyik kedvenc fényképe, amit az irodájában tart, hatalmas területen nyíló százszorszépekről készült, amelyben minden százszorszépnek 34 szirma van! A 34 a Fibonacci-számok egyike, és egy rejtett kapcsolat a zenei ritmus és a matematika között. Mellesleg a Fibonacciról elnevezett számsort Hemachandra ötven évvel korábban fedezte fel, de nem változtatták meg az elnevezést.


 
Mi a Fields-érem? 


2014-ben a szakma Fields-éremmel ismerte el Manjul Bhargava számelmélet terén kifejtett munkásságát. A Princeton Egyetem matematika professzora ő, de más egyetemeken is tanít, ugyanakkor minden évben ellátogat Indiába, Mumbai és Hyderabad tudományos intézetében is dolgozik. AFields-érem talán még nagyobb elismerés, mint a Nobel-díj, mert ez a legnagyobb globális matematikai jutalom, melyet négyévenként adnak csak ki. Az 1924-es Nemzetközi Matematikai Kongresszuson vetődött fel a díj létrehozásának ötlete, de csak 1936-tól kezdve osztották ki. Negyven év alatti, kimagasló eredményt elért matematikus részesülhetett benne.


 
Kártya trükk és matematikatanítás


Bhargava kifejti: Nem szeretem azt a módot, ahogy ma robot módon tanítják a matematikát az iskolában. A tanítás nálam sokszor kezdődik egy olyan kártyatrükkel, aminek egy matematikai fogalom az alapja. Természetesen a diák szeretné tudni, hogyan működik, de ahhoz meg kell tanulnia a matematikát. A költészet, a klasszikus zene, a klasszikus indiai zene segítségével is tanítható. Nagyon szeretnék megnyitni valamilyen nemzeti, tudományos és matematikai iskola-láncot Indiában. Sok tehetséges gyereknek nincs annyi esélye, mint az Egyesült Államokban – nyilatkozta a professzor.
 
  hírességek kutatás misztika számmisztika tudomány


Két kultúrában nőttem fel!


Anyám, matematikus, aki komolyan érdeklődött a zene és a nyelvtudomány iránt. Ennek eredményeként én is vonzódtam mindehhez, különösen a szanszkrit költészetet és a klasszikus indiai Carnatic zenét kedvelem. Több hangszeren tanultam játszani, mint a szitár, gitár, hegedű és a billentyűs hangszer. Kedvenc eszközöm a tabla. 


A hinduizmus egy különösen rugalmas, racionális és univerzális életmód. Vonzanak a hindu bölcsesség értékei, az amerikaiak munkaerkölcse pedig inspirál. Miközben felnőttem, a Védákról, a Puránákból vagy a Mahábháratából olyan gyakran hallottam, mint az aktuális hírekről. Minden nagyobb hindu ünnepet megünnepeltünk, a puja, arati (vallási szertartás, felajánlás) és sok-sok ünnepi étel mellett. Nem értek egyet az „életstílus” szóval, az inkább üzleti jellegű. A hinduizmusnak van egy jobb kifejezése, a Szanátan Dharma, a magasztos teológiai-filozófiai szellemi kincs. A világ és az Én bonyolult és nagyon fejlett értelmezése, ami azonnal egyszerűvé válik, mihelyt az ember megérti a lényegét.

Vegetáriánus családban nőtt fel, s néha a gyerekek gúnyolódtak rajta, amiért nem evett húst. Erre ő vágóhídi kegyetlen és borzalmas történeteket mesélt nekik, s többet nem csúfolták. Az erőszakmentes életmód melletti elkötelezettsége a Harvardon sem nem szűnt meg, részt vett az állatvédő bizottságban, az állati jogok védelmében, például a szőrmeipar vagy a laboratóriumi állatok bánásmódja elleni tiltakozásokban. 
 
A matematikai feladatok megoldása és az életfeladatok végeredménye 
A matematika tulajdonképpen szórakoztató, ha nem kötelességből, rutinszerűen végzi valaki. Miként az élet feladványai is azok. Mindkettőnél szükséges bizonyos alapszabályok ismerete, másképp nincs esély az eredmény elérésére.

Amikor Manjul Bhargavát arról faggatták, mi segítette át a nehéz időkön, rámutatott a hinduizmus tíz sarkalatos erényére, a jama és nijama lényegére. A jámák a környezetünkkel való kapcsolatunkat szabályozzák, a nijamák nélkülözhetetlen alapelvek, erények: a lelkierő, a megbocsátás, az igazmondás, a harag legyőzése és az ahimsza, az erőszakmentes életmód. Befejezésül hozzátette: „Egy hagyományos hindu családban felnőni a nehéz időkben elég könnyű, mert a családtagok mindig hajlandók feláldozni az idejüket és energiájukat, amikor mások rászorulnak.” 

Kapcsolódó cikkek


 
 


 

Tovább olvasom

12 jan

2016-os jövendölés számmisztika és lelkiség tükrében

Püthagorasz és tanítványai a számokat az isteni és a földi világ alapelveiként telkintették. Jó hír, hogy manapság egyes előrejelzések szerint 2016 nagyon kedvező év lehet. Miért? A számokat összeadva a híres 9-es jön ki. A numerológia tudománya szerint ennek jegyében az élet lelki oldala kerül előtérbe, humanitárius cselekedetekre ösztönöz, bölcsességre és önzetlenségre.

karma misztika tradíció tudomány számmisztika
A világot átható misztikum - számok és tények.

A numerológia, vagyis a számmisztika az asztrológia édestestvére. Ne nézzük le, komoly, sok ezer éves tudomány. Természetesen nem a bulvárlapok oldalain megjelenő írásokból kell képet alkotnunk erről. Püthagorasz az európai mestere, aki az i.e. hatodik században Egyiptomban és Babilónban ismerkedett meg e tudománnyal, bár ekkor már az ókori Indiában is magas fokon művelték. Püthagorasz szerint az emberi gondolkodás egy alacsonyabb és egy magasabb síkon mozog. A racionális értelmi képesség, a megfontolás a mulandó világgal kapcsolatos. A magasabb ismeretszerzés a bölcs belátás. E kettőnek összhangban kell lennie egymással. Mellesleg a róla elnevezett tétel nem tőle származik, Indiában már jóval korábban ismert volt. Püthagorasz és követői a vegetáriánus táplálkozást követték, és hittek a lélekvándorlásban. Iskolája abban is elöl járt, hogy elsőként fogadtak be nőket, többek között Püthagorasz felesége és lányai is itt tanulhattak.

karma misztika tradíció tudomány számmisztika

 „Gyönge Bábok vagyunk, s Ő tologat ide-oda az óriási Sakk
Éj- s Nap-Kockáin: megtámad, kiüt s a Dobozba egyenkint visszarak.”
(Omar Khajjám perzsa költő, kb. 1025-1122 – Szabó Lőrinc fordítása)

Igaza lenne Omar Khajjámnak? Vagy inkább annak a védikus történetnek, amelyben a főszereplő egy éles késsel meghosszabbította tenyerében az egyik barázdát? Miután kezére nézve közölték vele, hogy rövid az a bizonyos tenyérvonal, nincs meg a képessége ahhoz, amit el szeretne érni, csak annyit kérdezett: Melyik ez a vonal? És egy éles bemetszéssel máris „átírta” sorsát.

A numerológiában 9 alapszám van, a Naprendszerben 9 főbolygó, a hinduizmusban a világot jelképező mandala 9x9=81 négyzetből áll. Lehetne még folytatni a sort. Miként a bolygóknak, minden számnak megvan a maga hatása. Ugyanakkor nem szabad hozzá nem értő, olcsó magyarázatokkal beérni, főleg nem felszínes ismeretek alapján. Ennél sokkal jobb, ha józan paraszti ésszel régi magyar mondások vezérelnek: „Ki mint veti ágyát, úgy alussza álmát, Aki szelet vet, vihart arat, Mindenki a maga sorsa kovácsa.” A lehetőség adott. Tetteink és azok következményei fogják meghatározni nemcsak 2016-ot, a többi évet is. 

Kapcsolódó cikkek

Tovább olvasom


India Hangja

blogavatar

India elgondolkodtat. Valami, misztikum hatja át évezredek óta, amitől a legnagyobb káosz is harmóniává lesz. Ezt a békét kutatja az India Hangja csapata. Olykor indiai vagy éppen nyugati napi aktualitásokra reagálunk, máskor pedig az ősi bölcsek szavait vesszük elő. Jó olvasást és jó utazást kívánunk India szellemi tárházában! Adó 1% India Klub Alapítvány – Adószám: 19561383-2-43

Bharata a Facebookon